Vector of variables and vector functions

PyQBPP supports vectors of variables and vector operations.

Defining vector of variables

A vector of binary variables can be created using the var() function.

• var("name", size) returns a Vector of size variables with the given name.

The following program defines a vector of 5 variables with the name x. By printing x, we can confirm that it contains the 5 variables x[0], x[1], x[2], x[3], and x[4]. Next, using the expr() function, we create an Expr object f whose initial value is 0. In the for-loop from i = 0 to 4, each variable x[i] is added to f using the compound operator +=. Finally, f is simplified and printed.

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 5)
print(x)
f = qbpp.expr()
for i in range(5):
    f += x[i]
print("f =", f.simplify_as_binary())

The output of this program is as follows:

[x[0], x[1], x[2], x[3], x[4]]
f = x[0] +x[1] +x[2] +x[3] +x[4]

NOTE var(name, size) returns a Vector object that contains size elements of type Var. The Vector class provides overloaded operators that support element-wise operations.

WARNING: Vector vs Python list A variable array can also be created using a Python list comprehension:

x = [qbpp.var(f"x[{i}]") for i in range(5)]

Although this creates variables with the same names, the result is a Python list, not a Vector. The key difference is that Vector supports element-wise operations (+, -, *, ~), whereas list does not. For example, x + x with a Vector returns a new Vector with element-wise sums, but with a list it returns a concatenated list of length 10. Always use qbpp.var("x", size) when you need vector operations.

Sum function

Using the utility function sum(), you can obtain the sum of a vector of binary variables. The following program uses sum() to compute the sum of all variables in the vector x:

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 5)
print(x)
f = qbpp.sum(x)
print("f =", f.simplify_as_binary())

The output of this program is exactly the same as that of the previous program.

QUBO for one-hot constraint

A vector of binary variables is one-hot if it has exactly one entry equal to 1, that is, the sum of its elements is equal to 1. Let $X = (x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$ denote a vector of $n$ binary variables. The following expression $f(X)$ takes the minimum value of 0 if and only if $X$ is one-hot:

\[\begin{align} f(X) &= \left(1 - \sum_{i=0}^{n-1}x_i\right)^2 \end{align}\]

The following program creates the expression $f$ and finds all optimal solutions:

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 5)
f = qbpp.sqr(qbpp.sum(x) - 1)
print("f =", f.simplify_as_binary())

solver = qbpp.ExhaustiveSolver(f)
sols = solver.search_optimal_solutions()
for i, sol in enumerate(sols):
    print(f"({i}) {sol}")

The function sum() computes the sum of all variables in the vector. The function sqr() computes the square of its argument. The Exhaustive Solver finds all optimal solutions with energy value 0 as follows:

f = 1 -x[0] -x[1] -x[2] -x[3] -x[4] +2*x[0]*x[1] +2*x[0]*x[2] +2*x[0]*x[3] +2*x[0]*x[4] +2*x[1]*x[2] +2*x[1]*x[3] +2*x[1]*x[4] +2*x[2]*x[3] +2*x[2]*x[4] +2*x[3]*x[4]
(0) Sol(energy=0, x[0]=0, x[1]=0, x[2]=0, x[3]=0, x[4]=1)
(1) Sol(energy=0, x[0]=0, x[1]=0, x[2]=0, x[3]=1, x[4]=0)
(2) Sol(energy=0, x[0]=0, x[1]=0, x[2]=1, x[3]=0, x[4]=0)
(3) Sol(energy=0, x[0]=0, x[1]=1, x[2]=0, x[3]=0, x[4]=0)
(4) Sol(energy=0, x[0]=1, x[1]=0, x[2]=0, x[3]=0, x[4]=0)

All 5 optimal solutions are displayed.

変数のベクトルとベクトル関数

PyQBPPは変数のベクトルとベクトル演算をサポートしています。

変数ベクトルの定義

バイナリ変数のベクトルは var() 関数を使って作成できます。

• var("name", size) は、指定された name を持つ size 個の変数からなる Vector を返します。

以下のプログラムは、x という名前の5個の変数からなるベクトルを定義します。 x を表示すると、5つの変数 x[0]、x[1]、x[2]、x[3]、x[4] が含まれていることが確認できます。 次に、expr() 関数を使って、初期値が 0 の Expr オブジェクト f を作成します。 i = 0 から 4 までの for ループで、各変数 x[i] を複合演算子 += を使って f に加えます。 最後に、f を簡約化して表示します。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 5)
print(x)
f = qbpp.expr()
for i in range(5):
    f += x[i]
print("f =", f.simplify_as_binary())

このプログラムの出力は以下の通りです。

[x[0], x[1], x[2], x[3], x[4]]
f = x[0] +x[1] +x[2] +x[3] +x[4]

NOTE var(name, size) は size 個の Var 型要素を含む Vector オブジェクトを返します。 Vector クラスは、要素ごとの演算をサポートするオーバーロードされた演算子を提供します。

WARNING: Vector と Python の list の違い 変数配列はPythonのリスト内包表記でも作成できます:

x = [qbpp.var(f"x[{i}]") for i in range(5)]

これは同じ名前の変数を作成しますが、結果は Vector ではなくPythonの list になります。 重要な違いは、Vector は要素ごとの演算（+, -, *, ~）をサポートしますが、list はサポートしないことです。 例えば、Vector での x + x は要素ごとの和を含む新しい Vector を返しますが、list では長さ10の連結リストを返します。 ベクトル演算が必要な場合は、常に qbpp.var("x", size) を使用してください。

Sum 関数

ユーティリティ関数 sum() を使って、バイナリ変数ベクトルの合計を取得できます。 以下のプログラムは sum() を使ってベクトル x のすべての変数の合計を計算します。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 5)
print(x)
f = qbpp.sum(x)
print("f =", f.simplify_as_binary())

このプログラムの出力は、前のプログラムとまったく同じです。

One-hot 制約の QUBO

バイナリ変数のベクトルが one-hot であるとは、ちょうど1つの要素が1に等しいこと、すなわち要素の合計が1に等しいことを意味します。 $X = (x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$ を $n$ 個のバイナリ変数のベクトルとします。 以下の式 $f(X)$ は、$X$ が one-hot であるとき、かつそのときに限り最小値 0 をとります。

\[\begin{align} f(X) &= \left(1 - \sum_{i=0}^{n-1}x_i\right)^2 \end{align}\]

以下のプログラムは式 $f$ を作成し、すべての最適解を求めます。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 5)
f = qbpp.sqr(qbpp.sum(x) - 1)
print("f =", f.simplify_as_binary())

solver = qbpp.ExhaustiveSolver(f)
sols = solver.search_optimal_solutions()
for i, sol in enumerate(sols):
    print(f"({i}) {sol}")

関数 sum() はベクトル内のすべての変数の合計を計算します。 関数 sqr() は引数の二乗を計算します。 Exhaustive Solver は、エネルギー値 0 のすべての最適解を以下のように求めます。

f = 1 -x[0] -x[1] -x[2] -x[3] -x[4] +2*x[0]*x[1] +2*x[0]*x[2] +2*x[0]*x[3] +2*x[0]*x[4] +2*x[1]*x[2] +2*x[1]*x[3] +2*x[1]*x[4] +2*x[2]*x[3] +2*x[2]*x[4] +2*x[3]*x[4]
(0) Sol(energy=0, x[0]=0, x[1]=0, x[2]=0, x[3]=0, x[4]=1)
(1) Sol(energy=0, x[0]=0, x[1]=0, x[2]=0, x[3]=1, x[4]=0)
(2) Sol(energy=0, x[0]=0, x[1]=0, x[2]=1, x[3]=0, x[4]=0)
(3) Sol(energy=0, x[0]=0, x[1]=1, x[2]=0, x[3]=0, x[4]=0)
(4) Sol(energy=0, x[0]=1, x[1]=0, x[2]=0, x[3]=0, x[4]=0)

5つの最適解がすべて表示されます。