Multi-dimensional Variables and Expressions

Defining multi-dimensional variables

PyQBPP supports multi-dimensional variables and multi-dimensional integer variables of arbitrary depth using the functions var() and var_int(), respectively. Their basic usage is as follows:

• var("name", s1, s2, ..., sd): Creates an array of Var objects with the given name and shape $s_1\times s_2\times \cdots\times s_d$.
• between(var_int("name", s1, s2, ..., sd), l, u): Creates an array of VarInt objects with the specified range and shape.

The following program creates a binary variable with dimension $2\times 3\times 4$:

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 2, 3, 4)
print("x =", x)

Each Var object in x can be accessed as x[i][j][k].

Creating integer variable arrays with individual ranges

When defining a multi-dimensional array of integer variables, all elements created by qbpp.between(qbpp.var_int("name", s1, s2, ...), l, u) share the same range $[l, u]$. In many practical problems, however, each element may need a different range. There are two approaches to achieve this.

Approach 1: Placeholder array

First create a placeholder array using qbpp.var_int("name", s1, s2, ...) == 0, then assign individual ranges to each element using qbpp.between():

import pyqbpp as qbpp

max_vals = [3, 7, 15, 5]
x = qbpp.var_int("x", len(max_vals)) == 0
for i in range(len(max_vals)):
    x[i] = qbpp.between(x[i], 0, max_vals[i])
for i in range(len(max_vals)):
    print(f"x[{i}] = {x[i]}")

Here, qbpp.var_int("x", 4) == 0 creates an array of 4 constant-zero VarInt placeholders. Each element is then reassigned with its own range using qbpp.between(x[i], 0, max_vals[i]). The qbpp.between() function automatically inherits the name from the placeholder, so no explicit name is needed.

NOTE The == 0 syntax creates a VarInt with min_val = max_val = 0 (i.e., a constant zero placeholder). It does not create an equality constraint.

Approach 2: List comprehension with Vector

Alternatively, you can use a Python list comprehension wrapped with qbpp.Vector():

import pyqbpp as qbpp

max_vals = [3, 7, 15, 5]
x = qbpp.Vector([qbpp.between(qbpp.var_int(f"x[{i}]"), 0, max_vals[i])
                  for i in range(len(max_vals))])

This approach creates the variables directly without placeholders. Note that an explicit name (e.g., f"x[{i}]") must be provided for each variable, and the result must be wrapped with qbpp.Vector() to enable element-wise operations.

Defining multi-dimensional expressions

PyQBPP allows you to define multi-dimensional expressions with arbitrary depth using the function expr():

• expr(s1, s2, ..., sd): Creates a multi-dimensional array of Expr objects with shape $s_1\times s_2\times \cdots\times s_d$.

The following program defines a 3-dimensional array x of Var objects with shape $2\times 3\times 4$ and a 2-dimensional array f of size $2\times 3$. Then, using nested loops, each f[i][j] accumulates the sum of x[i][j][0] through x[i][j][3]:

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 2, 3, 4)
f = qbpp.expr(2, 3)
for i in range(2):
    for j in range(3):
        for k in range(4):
            f[i][j] += x[i][j][k]
f.simplify_as_binary()

for i in range(2):
    for j in range(3):
        print(f"f[{i}][{j}] =", f[i][j])

This program produces the following output:

f[0][0] = x[0][0][0] +x[0][0][1] +x[0][0][2] +x[0][0][3]
f[0][1] = x[0][1][0] +x[0][1][1] +x[0][1][2] +x[0][1][3]
f[0][2] = x[0][2][0] +x[0][2][1] +x[0][2][2] +x[0][2][3]
f[1][0] = x[1][0][0] +x[1][0][1] +x[1][0][2] +x[1][0][3]
f[1][1] = x[1][1][0] +x[1][1][1] +x[1][1][2] +x[1][1][3]
f[1][2] = x[1][2][0] +x[1][2][1] +x[1][2][2] +x[1][2][3]

Creating an array of expressions by operations

An array of Expr objects can be created without explicitly calling expr(). When an arithmetic operation yields an array-shaped result, an array of Expr objects with the same shape is created automatically.

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 2, 3)
f = x + 1
f += x - 2
f.simplify_as_binary()
for i in range(2):
    for j in range(3):
        print(f"f[{i}][{j}] =", f[i][j])

This program outputs:

f[0][0] = -1 +2*x[0][0]
f[0][1] = -1 +2*x[0][1]
f[0][2] = -1 +2*x[0][2]
f[1][0] = -1 +2*x[1][0]
f[1][1] = -1 +2*x[1][1]
f[1][2] = -1 +2*x[1][2]

Iterating over multi-dimensional arrays

Since PyQBPP vectors support Python iteration, nested for loops can be used:

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 2, 3)
f = x + 1
f += x - 2
f.simplify_as_binary()
for row in f:
    for element in row:
        print(f"({element})", end="")
    print()

This program outputs:

(-1 +2*x[0][0])(-1 +2*x[0][1])(-1 +2*x[0][2])
(-1 +2*x[1][0])(-1 +2*x[1][1])(-1 +2*x[1][2])

多次元変数と式

多次元変数の定義

PyQBPPは、関数 var() および var_int() を使って、任意の深さの多次元変数および多次元整数変数をサポートしています。 基本的な使い方は以下の通りです。

• var("name", s1, s2, ..., sd): 指定された name と形状 $s_1\times s_2\times \cdots\times s_d$ を持つ Var オブジェクトの配列を作成します。
• between(var_int("name", s1, s2, ..., sd), l, u): 指定された範囲と形状を持つ VarInt オブジェクトの配列を作成します。

以下のプログラムは $2\times 3\times 4$ の次元を持つバイナリ変数を作成します。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 2, 3, 4)
print("x =", x)

x 内の各 Var オブジェクトは x[i][j][k] としてアクセスできます。

個別の範囲を持つ整数変数配列の作成

多次元整数変数配列を定義する場合、qbpp.between(qbpp.var_int("name", s1, s2, ...), l, u) で作成された全要素は同じ範囲 $[l, u]$ を共有します。 しかし実際の問題では、各要素に異なる範囲が必要な場合が多くあります。 これを実現するには2つの方法があります。

方法1: プレースホルダ配列

まず qbpp.var_int("name", s1, s2, ...) == 0 でプレースホルダ配列を作成し、qbpp.between() で各要素に個別の範囲を割り当てます:

import pyqbpp as qbpp

max_vals = [3, 7, 15, 5]
x = qbpp.var_int("x", len(max_vals)) == 0
for i in range(len(max_vals)):
    x[i] = qbpp.between(x[i], 0, max_vals[i])
for i in range(len(max_vals)):
    print(f"x[{i}] = {x[i]}")

ここで、qbpp.var_int("x", 4) == 0 は定数ゼロの VarInt プレースホルダ4個の配列を作成します。 各要素は qbpp.between(x[i], 0, max_vals[i]) で個別の範囲に再代入されます。 qbpp.between() はプレースホルダから名前を自動的に引き継ぐため、明示的な名前の指定は不要です。

NOTE == 0 の構文は min_val = max_val = 0（定数ゼロのプレースホルダ）の VarInt を作成するものであり、等号制約を作成するものではありません。

方法2: リスト内包表記と Vector

Python のリスト内包表記を qbpp.Vector() で包む方法もあります:

import pyqbpp as qbpp

max_vals = [3, 7, 15, 5]
x = qbpp.Vector([qbpp.between(qbpp.var_int(f"x[{i}]"), 0, max_vals[i])
                  for i in range(len(max_vals))])

この方法ではプレースホルダなしに変数を直接作成します。 各変数に明示的な名前（例: f"x[{i}]"）を指定する必要があることと、 要素ごとの演算を使用するには結果を qbpp.Vector() で包む必要がある点に注意してください。

多次元式の定義

PyQBPPでは、関数 expr() を使って任意の深さの多次元式を定義できます。

• expr(s1, s2, ..., sd): 形状 $s_1\times s_2\times \cdots\times s_d$ を持つ Expr オブジェクトの多次元配列を作成します。

以下のプログラムは、形状 $2\times 3\times 4$ の Var オブジェクトの3次元配列 x と、 サイズ $2\times 3$ の2次元配列 f を定義します。 次に、ネストされたループを使って、各 f[i][j] に x[i][j][0] から x[i][j][3] までの合計を蓄積します。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 2, 3, 4)
f = qbpp.expr(2, 3)
for i in range(2):
    for j in range(3):
        for k in range(4):
            f[i][j] += x[i][j][k]
f.simplify_as_binary()

for i in range(2):
    for j in range(3):
        print(f"f[{i}][{j}] =", f[i][j])

このプログラムの出力は以下の通りです。

f[0][0] = x[0][0][0] +x[0][0][1] +x[0][0][2] +x[0][0][3]
f[0][1] = x[0][1][0] +x[0][1][1] +x[0][1][2] +x[0][1][3]
f[0][2] = x[0][2][0] +x[0][2][1] +x[0][2][2] +x[0][2][3]
f[1][0] = x[1][0][0] +x[1][0][1] +x[1][0][2] +x[1][0][3]
f[1][1] = x[1][1][0] +x[1][1][1] +x[1][1][2] +x[1][1][3]
f[1][2] = x[1][2][0] +x[1][2][1] +x[1][2][2] +x[1][2][3]

演算による式配列の作成

Expr オブジェクトの配列は、expr() を明示的に呼び出さなくても作成できます。 算術演算が配列形状の結果を生成する場合、同じ形状の Expr オブジェクトの配列が自動的に作成されます。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 2, 3)
f = x + 1
f += x - 2
f.simplify_as_binary()
for i in range(2):
    for j in range(3):
        print(f"f[{i}][{j}] =", f[i][j])

このプログラムの出力は以下の通りです。

f[0][0] = -1 +2*x[0][0]
f[0][1] = -1 +2*x[0][1]
f[0][2] = -1 +2*x[0][2]
f[1][0] = -1 +2*x[1][0]
f[1][1] = -1 +2*x[1][1]
f[1][2] = -1 +2*x[1][2]

多次元配列のイテレーション

PyQBPPのベクトルはPythonのイテレーションをサポートしているため、ネストされた for ループが使用できます。

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", 2, 3)
f = x + 1
f += x - 2
f.simplify_as_binary()
for row in f:
    for element in row:
        print(f"({element})", end="")
    print()

このプログラムの出力は以下の通りです。

(-1 +2*x[0][0])(-1 +2*x[0][1])(-1 +2*x[0][2])
(-1 +2*x[1][0])(-1 +2*x[1][1])(-1 +2*x[1][2])