Vector of variables and vector functions

QUBO++ supports vector of variables and vector oparations.

Defining vector of variables

A vector of binary variables can be created using the qbpp::var() function.

• qbpp::var("name", size) returns a vector of size variables with the given name.

The following program defines a vector of 5 variables with the name x. By printing x with std::cout, we can confirm that it contains the 5 variables x[0], x[1], x[2], x[3], and x[4]. Next, using the qbpp::expr() function with type deduction, we create a qbpp::Expr object f whose initial value is 0. In the for-loop from i = 0 to 4, each variable x[i] is added to f using the compound operator +=. Finally, f is simplified and printed using std::cout.

#define MAXDEG 2
#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 5);
  std::cout << x << std::endl;
  auto f = qbpp::expr();
  for (int i = 0; i < 5; ++i) {
    f += x[i];
  }
  std::cout << "f = " << f.simplify_as_binary() << std::endl;
}

The output of this program is as follows:

{x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]}
f = x[0] +x[1] +x[2] +x[3] +x[4]

NOTE qbpp::var(name, size) returns a qbpp::Vector<qbpp::Var> object that contains size elements of type qbpp::Var. The qbpp::Vector<T> class is almost compatible with std::vector<T>. It provides overloaded operators that support vector operations for elements of type T.

Sum function

Using the vector utility function qbpp::sum(), you can obtain the sum of a vector of binary variables. The following program uses qbpp::sum() to compute the sum of all variables in the vector x:

#define MAXDEG 2
#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 5);
  std::cout << x << std::endl;
  auto f = qbpp::sum(x);
  std::cout << "f = " << f.simplify_as_binary() << std::endl;
}

The output of this program is exactly the same as that of the previous program.

QUBO for one-hot constraint

A vector of binary variables is one-hot if it has exactly one entry equal to 1, that is, the sum of its elements is equal to 1. Let $X = (x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$ denote a vector of $n$ binary variables. The following expression $f(X)$ takes the minimum value of 0 if and only if $X$ is one-hot:

\[\begin{align} f(X) &= \left(1 - \sum_{i=0}^{n-1}x_i\right)^2 \end{align}\]

The following program creates the expression $f$ and finds all optimal solutions:

#define MAXDEG 2
#include <qbpp/qbpp.hpp>
#include <qbpp/exhaustive_solver.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 5);
  auto f = qbpp::sqr(qbpp::sum(x) - 1);
  std::cout << "f = " << f.simplify_as_binary() << std::endl;
  auto solver = qbpp::exhaustive_solver::ExhaustiveSolver(f);
  auto sol = solver.search_optimal_solutions();
  std::cout << sol << std::endl;
}

The function qbpp::sum() computes the sum of all variables in the vector. The function qbpp::sqr() computes the square of its argument. The Exhaustive Solver finds all optimal solutions with energy value 0, which are printed using std::cout as follows:

f = 1 -x[0] -x[1] -x[2] -x[3] -x[4] +2*x[0]*x[1] +2*x[0]*x[2] +2*x[0]*x[3] +2*x[0]*x[4] +2*x[1]*x[2] +2*x[1]*x[3] +2*x[1]*x[4] +2*x[2]*x[3] +2*x[2]*x[4] +2*x[3]*x[4]
(0) 0:{{x[0],0},{x[1],0},{x[2],0},{x[3],0},{x[4],1}}
(1) 0:{{x[0],0},{x[1],0},{x[2],0},{x[3],1},{x[4],0}}
(2) 0:{{x[0],0},{x[1],0},{x[2],1},{x[3],0},{x[4],0}}
(3) 0:{{x[0],0},{x[1],1},{x[2],0},{x[3],0},{x[4],0}}
(4) 0:{{x[0],1},{x[1],0},{x[2],0},{x[3],0},{x[4],0}}

All 5 optimal solutions are displayed.

変数ベクトルとベクトル関数

QUBO++は変数ベクトルとベクトル演算をサポートしています。

変数ベクトルの定義

2値変数のベクトルは qbpp::var() 関数を使って作成できます。

• qbpp::var("name", size) は、指定した name を持つ size 個の変数のベクトルを返します。

以下のプログラムは、名前 x を持つ5個の変数のベクトルを定義します。 x を std::cout で出力すると、5つの変数 x[0]、x[1]、x[2]、x[3]、x[4] が含まれていることを確認できます。 次に、qbpp::expr() 関数を型推論とともに使用して、初期値が 0 の qbpp::Expr オブジェクト f を作成します。 i = 0 から 4 までのforループで、各変数 x[i] が複合演算子 += を使って f に加算されます。 最後に、f が簡約化され、std::cout で出力されます。

#define MAXDEG 2
#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 5);
  std::cout << x << std::endl;
  auto f = qbpp::expr();
  for (int i = 0; i < 5; ++i) {
    f += x[i];
  }
  std::cout << "f = " << f.simplify_as_binary() << std::endl;
}

このプログラムの出力は以下の通りです。

{x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]}
f = x[0] +x[1] +x[2] +x[3] +x[4]

NOTE qbpp::var(name, size) は qbpp::Var 型の size 個の要素を含む qbpp::Vector<qbpp::Var> オブジェクトを返します。 qbpp::Vector<T> クラスは std::vector<T> とほぼ互換性があります。 型 T の要素に対するベクトル演算をサポートするオーバーロードされた演算子を提供します。

sum 関数

ベクトルユーティリティ関数 qbpp::sum() を使用すると、2値変数のベクトルの合計を取得できます。 以下のプログラムは qbpp::sum() を使用して、ベクトル x のすべての変数の合計を計算します。

#define MAXDEG 2
#include <qbpp/qbpp.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 5);
  std::cout << x << std::endl;
  auto f = qbpp::sum(x);
  std::cout << "f = " << f.simplify_as_binary() << std::endl;
}

このプログラムの出力は、前のプログラムとまったく同じです。

One-hot制約のQUBO

2値変数のベクトルが one-hot であるとは、ちょうど1つの要素が1に等しい、すなわち要素の合計が1に等しいことを意味します。 $X = (x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$ を $n$ 個の2値変数のベクトルとします。 以下の式 $f(X)$ は、$X$ がone-hotである場合にのみ最小値0をとります。

\[\begin{align} f(X) &= \left(1 - \sum_{i=0}^{n-1}x_i\right)^2 \end{align}\]

以下のプログラムは式 $f$ を作成し、すべての最適解を見つけます。

#define MAXDEG 2
#include <qbpp/qbpp.hpp>
#include <qbpp/exhaustive_solver.hpp>

int main() {
  auto x = qbpp::var("x", 5);
  auto f = qbpp::sqr(qbpp::sum(x) - 1);
  std::cout << "f = " << f.simplify_as_binary() << std::endl;
  auto solver = qbpp::exhaustive_solver::ExhaustiveSolver(f);
  auto sol = solver.search_optimal_solutions();
  std::cout << sol << std::endl;
}

関数 qbpp::sum() はベクトル内のすべての変数の合計を計算します。 関数 qbpp::sqr() は引数の2乗を計算します。 Exhaustive Solverはエネルギー値0のすべての最適解を見つけ、std::cout で以下のように出力されます。

f = 1 -x[0] -x[1] -x[2] -x[3] -x[4] +2*x[0]*x[1] +2*x[0]*x[2] +2*x[0]*x[3] +2*x[0]*x[4] +2*x[1]*x[2] +2*x[1]*x[3] +2*x[1]*x[4] +2*x[2]*x[3] +2*x[2]*x[4] +2*x[3]*x[4]
(0) 0:{{x[0],0},{x[1],0},{x[2],0},{x[3],0},{x[4],1}}
(1) 0:{{x[0],0},{x[1],0},{x[2],0},{x[3],1},{x[4],0}}
(2) 0:{{x[0],0},{x[1],0},{x[2],1},{x[3],0},{x[4],0}}
(3) 0:{{x[0],0},{x[1],1},{x[2],0},{x[3],0},{x[4],0}}
(4) 0:{{x[0],1},{x[1],0},{x[2],0},{x[3],0},{x[4],0}}

5つの最適解がすべて表示されます。